Resumo As produções escritas de estudantes podem ser objeto de análise com vista à investigação e ao ensino. Neste trabalho, um dos poucos sobre erros e números complexos, analisam-se as produções, elaboradas por estudantes do ensino superior, para uma tarefa de demonstração de um caso particular da identidade do paralelogramo. Num trabalho que pode dar pistas para a prática letiva de professores do ensino secundário e do ensino superior, procura-se classificar os esquemas de demonstração nessas produções, identificar os erros neles cometidos e relacionar estas duas vertentes de análise. A natureza da investigação é qualitativa, recorrendo à análise de conteúdo empregando, por um lado, critérios prévios de categorizações de esquemas de demonstração e, por outro, critérios novos de categorizações de erros. Constatou-se que os estudantes utilizaram, principalmente, esquemas de demonstração de convicção externa, incluídos numa subcategoria nova designada por não válidos no universo, e esquemas de demonstração dedutivos, incluídos num nível novo que se caracteriza por discernimento incipiente da compreensão da tarefa, do contexto matemático, de hipóteses e tese, e dos conhecimentos prévios a mobilizar. Os erros dominantes nas produções estão relacionados à compreensão dos conceitos de linearidade de uma função e de módulo de um número complexo, apresentando-se possíveis explicações para os mesmos. Apesar de não se identificar uma relação propriamente significativa entre os esquemas de demonstração produzidos pelos estudantes e os erros cometidos, obteve-se material para construção e discussão de questões conceituais no âmbito do tópico números complexos.

Abstract The written productions of students can be subjected to analysis for research and teaching purposes. In the present work, one of the few on errors and complex numbers, the productions presented by Higher Education students for a proof task of a particular case of the parallelogram identity are analysed. In a work that may give clues for the teaching practice in High School and Higher Education, we attempt to classify the proof schemes of those productions, to identify the errors and to connect these two strands of analysis. The nature of the research is qualitative, making use of content analysis with, on the one hand, known criteria of categorization of proof schemes and, on the other hand, new criteria of categorization of errors. The students produced, mainly, external conviction proof schemes, included in a new subcategory called not valid in the universe, and deductive proof schemes, included in a new level that is characterized by the inchoate discernment of the comprehension of the task, of the mathematical context, of the hypotheses and thesis, and the previous knowledge that was needed. The dominant errors in the productions, for which possible explanations are presented, are related to the understanding of the concepts of linearity of a function and of modulus of a complex number. Although a significant relation between the proof schemes produced by the students and the errors is not identified, material for the construction and the discussion of concept questions in the context of complex numbers is obtained.

A educação progressiva é uma das tradições educativas mais fascinantes dos Estados Unidos da América, destacando-se pela sua visão humanista da educação e pelo compromisso com o aprofundamento da democracia através da escolarização. Neste artigo, analisamos os principais desenvolvimentos da educação progressiva por meio da revisão de literatura recente a respeito do assunto e de escritos de seguidores mais proeminentes, estabelecendo a relação entre as propostas atuais e o pensamento fundador de John Dewey. O nosso objetivo consiste em elucidar qual o núcleo fundamental das ideias defendidas por esse movimento educativo, baseando-nos numa discussão dos conceitos centrais do pensamento pedagógico de John Dewey e na forma como esses foram apropriados e alargados pelos seus sucessores e atuais defensores. A partir da análise, concluímos que, apesar da influência dessa tradição educativa ter diminuído, fruto da generalização de uma perspectiva neoliberal na educação norte-americana, as suas propostas são fundamentais para a promoção de uma sociedade mais democrática e justa. Entre essas propostas, que permanecem fiéis aos aspectos fulcrais do pensamento de John Dewey, adaptando-o aos novos tempos, destacam-se o compromisso com a integração social e o pluralismo, além da concepção da aprendizagem como ampliação de uma experiência partilhada, favorecedora da promoção do capital social e do estabelecimento das bases de uma aprendizagem permanente.

Progressive education is one of the most fascinating educational traditions of the United States of America and is noted for its humanistic vision of education and commitment to the deepening of democracy through schooling. This article analyzes the main developments in progressive education by reviewing recent literature on the subject and the writings of its most prominent followers, establishing the relationship between current proposals and the foundational thought of John Dewey. My goal is to elucidate the fundamental core of the ideas espoused by this educational movement by discussing the central concepts of the pedagogical ideas of John Dewey and how such concepts were appropriated and extended by his successors and current defenders. Based on the analysis, I have concluded that, despite the decline in the influence of this educational tradition, due to the spread of a neoliberal perspective on American education, its proposals are critical to promoting a more democratic and just society. Among such proposals, which remain faithful to the key aspects of the thought of John Dewey, adapting it to the changing times, I highlight pluralism and the commitment to social integration, in addition to the conception of learning as an extension of a shared experience, which encourages the promotion of social capital and the laying of the foundations for lifelong learning.

A partir de um estudo conduzido mediante a realização de entrevistas semiestruturadas a seis educadoras que trabalham ou trabalharam em escolas progressivas na cidade de Nova Iorque, exploraremos neste texto algumas das propostas que fazem da educação progressiva uma alternativa credível para a implementação de uma educação democrática, em oposição ao atual quadro neoliberal vigente nos Estados Unidos da América. Com base no tratamento das entrevistas feita com recurso a uma análise temática, é possível concluir que a educação progressiva se baseia na organização de uma aprendizagem integral que tem em conta a realidade dos alunos e que fortalece a partilha de conhecimentos e responsabilidades, favorecendo a aquisição de uma visão crítica e da capacidade de intervir no meio envolvente.

In this paper, we will explore the main proposals of progressive education nowadays that make it a credible alternative for the implementation of a democratic education, as opposed to the neo-liberal framework established in the United States of America. With this purpose, we have interviewed six educators in New York City that work or had worked in progressive schools. From a thematic analysis of the interviews, we can conclude that progressive education is based upon the organization of an integral learning that establishes a connection with the students' world, enhancing the ability to share knowledge and responsibilities as well as promoting the acquisition of a critical perspective and the ability to intervene in the world.

D'après une étude menée par la réalisation d'entrevues semi-structurées à six enseignantes qui travaillent ou qui ont travaillé dans des écoles progressives à New York, cet article explore quelques propositions de l'enseignement progressif qui constituent une alternative crédible pour la mise en œuvre d'un enseignement démocratique, par opposition au cadre néolibéralen vigueur dans les États Unis d'Amérique. Basé sur la saisie des résultats d'entrevues, menée à l'aide d'une analyse thématique, nous concluons que l'enseignement progressif est fondé sur l'organisation d'un apprentissage intégral qui prend en compte la réalité des apprenants et améliore le partage de connaissances et de responsabilités, tout comme l'acquisition d'un regard critique et la capacité d'intervention dans la réalité.

A compreensão da atualidade da proposta pedagógica de John Dewey requer uma análise cuidadosa do conceito de experiência educativa desenvolvido por esse autor. Efetivamente, a sua filosofia educativa está alicerçada numa teoria da experiência na medida em que se assenta numa conexão entre a experiência pessoal e a aprendizagem, tendo em vista o alargamento progressivo da primeira. Neste artigo, e com recurso a algumas das principais obras pedagógicas do autor, procedemos à caracterização do conceito de experiência educativa, começando por distingui-lo do conceito de experiência pura e simples. As dimensões fundamentais de qualquer experiência são a continuidade e a interação, distinguindo-se a experiência educativa pela qualidade dessas dimensões no sentido de proporcionar o desenvolvimento do sujeito, isto é, o crescimento e ampliação da sua experiência anterior. A partir da elucidação desse conceito, procuraremos de seguida compreender o impacto que essa concepção possui na organização de um ensino indireto, baseado numa busca cooperativa, e nas concepções de currículo e do papel do professor e do aluno. É ainda tendo em conta a centralidade do conceito de experiência educativa que elucidaremos o nexo profundo existente entre educação progressiva e educação democrática, cuja chave é a realidade social da inteligência potenciada em ambientes democráticos, além do nexo entre educação e democracia.

Understanding the modernity of Dewey's pedagogical proposal requires a careful appraisal of his concept of educative experience. Actually, his educational philosophy is grounded on a theory of experience, insofar as it rests upon a connection between personal experience and learning whose aim is the progressive enlargement of that experience. In the present article we make use of some of his main pedagogical works to characterize the concept of educative experience, starting with the distinction between educative experience and experience pure and simple. Whilst the fundamental dimensions of any experience are continuity and interaction, the educative experience is distinguished by the quality of these dimensions in promoting the subject's development, that is, the growth and widening of his/her previous experience. After clarifying this concept, we seek to understand its impact for the organization of an indirect teaching based on a cooperative search, and for conceptions of curriculum and the role of pupils and teacher. Still considering the centrality of the concept of educative experience, we try to unveil the deep nexus between progressive education and democratic education, whose key is the social reality of the intelligence heightened by democratic environments, apart from the nexus between education and democracy.

A autonomia moral foi, desde os primórdios do pensamento ocidental, entendida como expoente da maturidade humana. No contexto da tradição cognitivo-desenvolvimental, a construção da autonomia é concebida, predominantemente, como um processo de separação-individuação. A teoria do desenvolvimento do ego de Jane Loevinger, combinando a abordagem cognitivo-desenvolvimental com a abordagem psicanalítica, propõe o entendimento da autonomia moral como resultado de uma dialética de separação-inclusão, favorecendo uma compreensão mais adequada deste fenômeno, enquanto manifestação de uma maturidade socioafetiva.

Since the beginnings of occidental reflection, moral autonomy was considered as a sign of human maturity. According to the cognitive-developmental tradition, the construction of moral autonomy is mainly a process of separation- individuation. The ego developmental theory of Jane Loevinger, combining the cognitive developmental and the psychoanalytic approaches, propose an understanding of moral autonomy as the result of a separation-inclusion movement. Therefore a more adequate comprehension of this phenomenon emerges, associated to a frame of socio-affective maturity.